progresión algebraica

Progresiones

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

Progresiones aritméticas

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Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene añadiendo al término anterior un número fijo llamado la diferencia de la progresión.
De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escribirse en la forma:
(1)

a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,…,

en donde a1 se llama primer término y d es la diferencia.
Si an representa el enésimo término de la sucesión (1), entonces:
el segundo término es a2=a1+d
el tercer término es a3=a1+2d
el cuarto término es a4=a1+3d
y en general, el enésimo término es
(2)

an=a1+(n−1)d

Ahora, vamos a obtener una expresión para la suma sn de los n primeros términos de la sucesión (1), es decir, para la suma
(3)

sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+(an−2d)+(an−d)+an

Escribiendo los términos del segundo miembro de (3) en orden inverso, tenemos
(4)

sn=an+(an−d)+(an−2d)+⋯+(a1+2d)+(a1+d)+a1

Sumando miembro a miembro (3) y (4), tenemos
(5)

2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+⋯+(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)

de donde
(6)

sn=n2(a1+an)

Este resultado nos dice:
Teorema 1. Si en una progresión aritmética a1 es el primer término, an es el enésimo término, d es la diferencia y sn la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes
(7)

an=a1+(n−1)d

(8)

sn=n2(a1+an)

Utilizando estas dos relaciones, podemos obtener una segunda fórmula para sn, que puede reemplazar a la relación (8):
sn=n2(a1+an), pero an=a1+(n−1)d. En consecuencia,
sn=n2(a1+a1+(n−1)d)
Por lo tanto,
(9)

sn=n2[2a1+(n−1)d]

La demostración del Teorema 1 puede efectuarse en forma rigurosa utilizando el método de inducción matemática.
Por demostrar:

• an=a1+(n−1)d

Demostración:
Sea d≠0∈R, a∈R y n∈N
Primero, demostramos para n=1.
P(1):a1=a1+(1−1)d
P(1):a1=a1+0d
P(1):a1=a1
Queda así demostrado que para n=1 la igualdad se cumple.
A continuación, procedemos a encontrar nuestra hipótesis para un k arbitrario tal que k∈N
P(k):ak=a1+(k−1)d.
Luego, encontramos nuestra tésis para k+1∈N
P(k+1):ak+1=a1+(k+1−1)d
P(k+1):ak+1=a1+kd.
Ahora, procedemos a demostrar nuestra tésis
Como ak+1 es el sucesor de ak (Nuestra hipótesis), significa que ak+d=ak+1
Entonces,
ak+d=ak+1
⇔[a1+(k−1)d]+d=ak+1
⇔a1+kd−d+d=ak+1
↔a1+kd=ak+1
Y como ak+1=a1+kd, entonces
↔a1+kd=a1+kd.
Queda entonces demostrado que la tésis inductiva se cumple para k+1∈N.
Por lo tanto, queda demostrado que la ecuación an=a1+(n−1)d se cumple ∀n∈N.
Ahora, demostraremos la segunda parte del Teorema 1.
Por demostrar

• sn=n2(a1+an)