progresión algebraica
Progresiones
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene añadiendo al término anterior un número fijo llamado la diferencia de la progresión.
De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escribirse en la forma:
(1)
a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,…,
en donde a1 se llama primer término y d es la diferencia.
Sian representa el enésimo término de la sucesión (1), entonces:
el segundo término esa2=a1+d
el tercer término esa3=a1+2d
el cuarto término esa4=a1+3d
y en general, el enésimo término es
(2)
an=a1+(n−1)d
Ahora, vamos a obtener una expresión para la suma sn de los n primeros términos de la sucesión (1), es decir, para la suma
(3)
sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+(an−2d)+(an−d)+an
Escribiendo los términos del segundo miembro de (3) en orden inverso, tenemos
(4)
sn=an+(an−d)+(an−2d)+⋯+(a1+2d)+(a1+d)+a1
Sumando miembro a miembro (3) y (4), tenemos
(5)
2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+⋯+(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)
de donde
(6)
sn=n2(a1+an)
Este resultado nos dice:
Teorema 1. Si en una progresión aritméticaa1 es el primer término, an es el enésimo término, d es la diferencia y sn la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes
(7)
an=a1+(n−1)d
(8)
sn=n2(a1+an)
Utilizando estas dos relaciones, podemos obtener una segunda fórmula para sn , que puede reemplazar a la relación (8):
sn=n2(a1+an) , pero an=a1+(n−1)d . En consecuencia,
sn=n2(a1+a1+(n−1)d)
Por lo tanto,
(9)
sn=n2[2a1+(n−1)d]
La demostración del Teorema 1 puede efectuarse en forma rigurosa utilizando el método de inducción matemática.
Por demostrar:
Sead≠0∈R , a∈R y n∈N
Primero, demostramos paran=1 .
P(1):a1=a1+(1−1)d
P(1):a1=a1+0d
P(1):a1=a1
Queda así demostrado que paran=1 la igualdad se cumple.
A continuación, procedemos a encontrar nuestra hipótesis para unk arbitrario tal que k∈N
P(k):ak=a1+(k−1)d .
Luego, encontramos nuestra tésis parak+1∈N
P(k+1):ak+1=a1+(k+1−1)d
P(k+1):ak+1=a1+kd .
Ahora, procedemos a demostrar nuestra tésis
Comoak+1 es el sucesor de ak (Nuestra hipótesis), significa que ak+d=ak+1
Entonces,
ak+d=ak+1
⇔[a1+(k−1)d]+d=ak+1
⇔a1+kd−d+d=ak+1
↔a1+kd=ak+1
Y comoak+1=a1+kd , entonces
↔a1+kd=a1+kd .
Queda entonces demostrado que la tésis inductiva se cumple parak+1∈N .
Por lo tanto, queda demostrado que la ecuaciónan=a1+(n−1)d se cumple ∀n∈N .
Ahora, demostraremos la segunda parte del Teorema 1.
Por demostrar
Progresiones aritméticas
Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene añadiendo al término anterior un número fijo llamado la diferencia de la progresión.
De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escribirse en la forma:
(1)
Si
el segundo término es
el tercer término es
el cuarto término es
y en general, el enésimo término es
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Teorema 1. Si en una progresión aritmética
(7)
Por lo tanto,
(9)
Por demostrar:
an=a1+(n−1)d
Sea
Primero, demostramos para
Queda así demostrado que para
A continuación, procedemos a encontrar nuestra hipótesis para un
Luego, encontramos nuestra tésis para
Ahora, procedemos a demostrar nuestra tésis
Como
Entonces,
Y como
Queda entonces demostrado que la tésis inductiva se cumple para
Por lo tanto, queda demostrado que la ecuación
Ahora, demostraremos la segunda parte del Teorema 1.
Por demostrar
sn=n2(a1+an)